(기하와 벡터) 종이접기로 배우는 포물선의 정의 - 포물선의 방정식

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종이접기로 배우는 포물선의 정의 - 포물선의 방정식

올해 가장 큰 목표! 딱딱한 수학 수업에서 벗어나려는 몸부림(?)을 치고 있는 중입니다. 포물선의 정의를 설명하는 단계에서 아주 간단한 종이접기를 이용해 보았습니다. 

어떻게 하는 거죠?

포물선의방정식활동지(접선그리기).pdf

먼저 첨부된 파일을 다운 받아서 출력을 합니다. (굳이 이 활동지가 아니어도 빈 A4 용지 하나면 OK. 적당한 위치에 점을 하나 찍어줍니다. (나중에 초점이 되겠죠?)

 

종이접기로 배우는 포물선 ⓒ 달빛수학교실

종이가 준비 되면 아래 그려진 선이 점에 닿도록 접어줍니다. (빈 A4 용지였다면 종이의 모서리를 이용하면 더욱 쉬워요~) 불빛에 잘 비춰보며 위치를 잘 찾아줍니다.

종이접기로 배우는 포물선 ⓒ 달빛수학교실

접혀진 부분을 펜으로 잘 그려줍니다.

종이접기로 배우는 포물선 ⓒ 달빛수학교실

직선 위의 다른 점들과 초점이 만나도록 여러번 반복해줍니다. 

종이접기로 배우는 포물선 ⓒ 달빛수학교실

여러번 진행하면 아래의 그림과 같이 직선들을 많이 그려 넣을 수 있습니다. 더 그려보려고 했는데 저도 귀찮네요~ ㅎㅎ

종이접기로 배우는 포물선 ⓒ 달빛수학교실

 

이렇게 활동했어요

학교 수업에서 직접 활용해 보았습니다. 귀찮을만도 한데 학생들이 적극적으로 잘 참여해주고 있네요^^

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

꾹꾹 종이를 접어가며 활동을 진행합니다. 가끔 엉뚱한 방향으로 선을 접는 친구들도 있어서 잘 살펴보아야 합니다.

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

학생들끼리도 활동 중에 성격이 나타납니다. 이렇게 쓱쓱 줄을 긋는 친구들도 있는 반면...

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

이렇게 깔끔하게 줄을 긋는 친구들도 있네요^^

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

심지어 이렇게 꼼꼼하게 완성해 가는 친구들도 있습니다^^

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

어느 정도 학생들의 활동이 마무리 되었을 때, 원리를 설명해 주었습니다. 

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

원리는 무엇일까?

원리를 설명하기 위해 다시 빈 종이를 가져왔습니다. 점을 하나 찍고, 종이의 한쪽 모서리가 점과 만나도록 접어줍니다.

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

종이를 접었을 때, 모서리와 점이 만나는 점을 모서리에 잘 표시해 줍니다.

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

그렇게 모서리(이 모서리는 나중에 준선이 됩니다)와 만난 점을 A라고 해보겠습니다. 그리고 처음에 찍었던 점을 F(이 점은 나중에 초점이 됩니다)라고 합니다. 이 두점을 연결하면 직선 AF는 아까 그렸던 직선에 의해 수직이등분됩니다(* 다시 말해 직선 AF가 이등분 된다는 이야기겠죠. 그림에는 표시가 안되었지만 수직으로 나누어집니다. 왜? 접었으니까!!). 

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

그 다음 점 A에서 모서리(준선)에 수직으로 직선(빨간선)을 그립니다. 접힌 선과 만나는 점을 P라고 합시다.(이 점은 나중에 포물선 위의 한 점이 됩니다.) 그리고 점 P와 점 F를 연결합니다.(빨간 점선)

뭔가가 보이시나요? 삼각형 APB와 삼각형 FPB는 어떤관계다? 그렇죠~! 합동입니다. 직각삼각형의 합동조건 기억나시죵??

그렇다면 결론적으로 직선 AP와 직선 FP의 길이가 같습니다. 포물선의 정의가 보이시나요? 한 직선(준선)으로부터의 거리(AP)와 다른 점(초점)으로부터의 거리(FP)가 같은 점(P)의 자취. 이것이 포물선의 정의라는 것을 떠올릴 수 있어야 합니다^^

그리고 이 점(P)을 지나는 직선(* 처음에 종이를 접어서 생긴 직선)은 여기서는 증명하지 않았지만, 포물선의 접선이 됩니다. 다시 말하면 점 P는 포물선의 접점이 되겠네요.

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

여기서 잠깐!! 앞에서 보았던 사진을 하나 다시 보겠습니다.

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

이 그림을 보면 직선들이 모여서 멋진 스트링아트를 연출했습니다^^ 이 그림을 완성한 후에 가끔 학생들이 오해를 하는 부분이 있습니다. 매끄럽게 만들어진 곡선이 바로 포물선이라는 거죠! 엄밀히 말하면 저 그림에서 나타난 포물선은 우리가 정의에 따라 그려낸 포물선과는 다른 녀석입니다. 저기에 그려놓은 직선들은 포물선의 접선들을 모아 놓은 것이기 때문입니다. 접선의 교점들은 절대 포물선 위의 점이 될 수 없습니다. 포물선의 한 접점에서 두개의 접선을 그릴 수는 없으니까요..

아무튼 이 과정을 통해 포물선의 정의에 따라 점 P를 찾을 수 있었는데요. 한 단계만 더 나아가봅시다. 처음에 접었던 선대로 다시 종이를 접고 이번에는 반대쪽 에서 아래의 사진처럼 종이를 접어줍니다.

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

그런 다음 펼치고 이전에 그렸던 방식으로 선들을 그려줍니다. 각각의 점들에 대응하는 점들에는 프라임(') 기호를 붙여주었습니다.  이제 천천히 살펴볼까요?

오른쪽 삼각형의 경우에도 왼쪽 삼각형과 마찬가지로 삼각형 A'P'B' 과 삼각형 FP'B'이 합동인 것을 알 수 있습니다. 따라서 직선 A'P'과 직선 FP'의 길이가 같음을 알 수 있습니다. 그런데 이번에 우리의 관심은 약간 다른 곳에 있습니다.

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

아래 사진에 따르면 (새로운 점 C가 등장했군요...) 각 PCP'이 직각임을 알 수 있습니다. 그리고 또 한가지 중요한 사실이 있습니다!! 바로 PP'이 점 F를 지나는 직선이라는 사실입니다. 왜일까요? 직각삼각형 PAC와 삼각형 PFC는 합동이므로 각 PFC가 직각인 직각삼각형이라고 할 수 있습니다. 마찬가지 방법으로 삼각형 P'FC도 각 P'FC가 직각인 지각ㄱ삼각형이라는 사실을 알 수 있습니다. 따라서 각 PFP'은 180도 이므로 PP'은 직선입니다.

이 내용을 다시 정리해볼까요?

(1) 점 P와 P'은 포물선 위의 점들입니다.

(2) 점 P를 지나는 직선과 점 P'을 지나는 직선은 각각 포물선의 접선이며 서로 수직으로 만납니다.

(3) 점 P와 점 P'을 연결한 직선은 반드시 초점 F를 지납니다.

감이 오시나요?

포물선의 두 접선이 서로 직교할 때, 각각의 접점끼리 연결한 직선은 반드시 초점 F를 지난다!!

재미있는 성질이죠? ㅎㅎ

종이접기와 포물선의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

글로 표현하려니 참 어렵네요. 읽어보시다가 설명이 매끄럽지 못한 부분이나 궁금한 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요^^ (오타도 많이 있을거에요~)

 

 

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