(기하와 벡터) 종이접기로 배우는 타원의 정의 - 타원의 방정식

:: 기하와 벡터 :: 

종이접기로 배우는 타원의 정의 - 타원의 방정식

며칠 전에 오늘 포스팅할 내용과 비슷한 내용으로 포스팅을 했었습니다. 그 때 주제는 종이 접기를 이용해서 포물선의 원리를 살펴보는 것이었습니다.

* 참고 : (기하와 벡터) 종이접기로 배우는 포물선의 정의 - 포물선의 방정식

오늘은 기하와 벡터에서 배우는 이차곡선, 그 두번째! 타원에 대한 이야기로 넘어가볼게요. 타원도 간단한 종이 접기 활동으로 먼저 만나보겠습니다.

 

어떻게 하는 거죠?

타원의방정식활동지.pdf

첨부해드린 파일을 다운 받으면 아래와 같은 활동지가 나옵니다. (활동지가 아니라면 빈 A4 용지에 커다란 원을 하나 그려줍니다. 원의 중심과 원 내부에 점 하나를 찍어주기만 하면 준비 완료!!)

종이접기로 배우는 타원 ⓒ 달빛수학교실

오늘의 종이 접기는 원의 둘레와 원 내부의 점 F'을 서로 만나게 해주는 겁니다. 종이 아래쪽으로 비취는 원의 둘레를 잘 맞춰주도록 합니다.

종이접기로 배우는 타원 ⓒ 달빛수학교실

접힌 부분을 표시가 잘 나타나도록 펜으로 그려줍니다. 이번 포스팅에서 자세히 설명해 드리지는 않지만 이 선은 나중에 타원의 접선 중에 하나가 됩니다.

종이접기로 배우는 타원 ⓒ 달빛수학교실

이 과정을 여러번 반복해서 다양한 선들을 그려줍니다.

종이접기로 배우는 타원 ⓒ 달빛수학교실

선들을 많이 모으면 모을 수록 타원의 모양이 점점 뚜렷해질거에요~~

종이접기로 배우는 타원 ⓒ 달빛수학교실

 

이렇게 활동했어요

이 내용을 학교 학생들과 함께 해 보았습니다. 포물선 활동을 이미 해 보아서인지 제법 쉽게 잘 그려나갑니다.

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

깔끔한 마무리를 하고 있는 학생^^

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

선이 많아지니 제법 그럴듯한 모양새가 갖추어집니다.

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

한 학생이 마무리한 작품입니다. 몇몇 친구들끼리 경쟁 아닌 경쟁(?)이 붙어서 그런지 멋진 작품(?)들이 쏟아져 나오네요~

소명중고등학교 기하와 벡터 수업 중 ⓒ 달빛수학교실

어때요? 두 점 F와 F'을 초점으로 하는 타원이 보이시나요? 이전에 포물선 활동에서도 언급했지만 지금 보이는 타원은 엄밀히 말하면 정의 상의 타원은 아닙니다. 그림 상의 타원은 선들의 교점들이 모여서 만들어진 것으로 보입니다. 그러나 실제로 저 선들은 타원의 접선들이기 때문에 접선의 교점이 타원이 될 수는 없습니다. (무슨 이야기인지 감이 오시는지..? ㅠㅠ) 

원리는 무엇일까?

활동만 하고 그냥 넘어갈 수는 없겠죠? 그려 넣은 선들을 모으니 왜 타원의 형태가 만들어지는지 원리를 살펴보아야겠죠?

종이접기와 타원의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

첫번째 선을 그릴 때, 원의 둘레와 원 내부의 점 F'이 만나는 지점을 잘 표시해 둡니다.

종이접기와 타원의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

종이를 다시 펼치고 아까 표시했던(원의 둘레와 점 F'이 만나는) 점을 A라고 합니다. 그 뒤에 점 A와 F'을 직선으로 연결해줍니다. 그러면 아까 그렸던 선이 직선 AF'을 수직이등분 합니다. 당연히 그렇겠죠? 반으로 접은 거니....

종이접기와 타원의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

이번에는 점 A와 점 F(원의 중심)를 직선(그림에서 파란 직선)으로 이어줍니다. 이 선과 처음에 그렸던 선의 교점을 P라고 합시다.

종이접기와 타원의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

마지막으로 점 P와 점 F'을 직선으로 연결해줍니다. (그림에서 파란 점선)

종이접기와 타원의 원리 찾기 ⓒ 달빛수학교실

그림을 보면 두개의 삼각형이 보입니다. 삼각형 APB와 삼각형 F'PB는 무슨 관계다? 그렇죠! 합동이죠? 따라서 선분 AP의 길이와 PF' 길이가 같습니다.

조금만 집중해서 잘 봅시다. 선분 PF와 선분 PF'의 길이의 합은 선분 PF와 선분 PA의 길이의 합과 같다고 할 수 있겠죠? 그리고 PF와 PA의 합은 처음에 그려져있던 커다란 원의 반지름 R이라고 할 수 있습니다. 즉

$$PF + PF' = PF + PA = R$$

의 관계가 성립합니다. 그리고 이것은 타원의 정의와 일치합니다.

 

 

<타원의 정의>

평면 위에서 서로 다른 두 점 F, F'으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합

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